如何用根的判别式求解方程的根的范围？

在数学中，求解一元二次方程的根是基础而重要的内容。一元二次方程的一般形式为 ( ax^2 + bx + c = 0 )，其中 ( a \neq 0 )。根的判别式是判断一元二次方程根的性质的关键工具。本文将详细介绍如何利用根的判别式求解方程的根的范围。

一元二次方程的根的判别式是 ( \Delta = b^2 - 4ac )。根据判别式的值，我们可以判断方程根的性质：

此时，方程有两个不相等的实数根，设为 ( x_1 ) 和 ( x_2 )。根据韦达定理，我们有：

要找出 ( x_1 ) 和 ( x_2 ) 的范围，我们可以利用以下方法：

对于 ( x_1 + x_2 )，由于 ( a \neq 0 )，所以 ( x_1 + x_2 ) 的范围是 ( (-\infty, +\infty) )；
对于 ( x_1 \cdot x_2 )，由于 ( a \neq 0 )，所以 ( x_1 \cdot x_2 ) 的范围是 ( (-\infty, +\infty) )。

因此，当 ( \Delta > 0 ) 时，方程的根的范围是 ( (-\infty, +\infty) )。

此时，方程有两个相等的实数根，设为 ( x )。根据韦达定理，我们有：

要找出 ( x ) 的范围，我们可以利用以下方法：

因此，当 ( \Delta = 0 ) 时，方程的根的范围是 ( (-\infty, +\infty) )。

此时，方程没有实数根。由于 ( a \neq 0 )，我们可以得出以下结论：

要找出 ( x_1 ) 和 ( x_2 ) 的范围，我们可以利用以下方法：

对于 ( x_1 + x_2 )，由于 ( a \neq 0 )，所以 ( x_1 + x_2 ) 的范围是 ( (-\infty, +\infty) )；
对于 ( x_1 \cdot x_2 )，由于 ( a \neq 0 )，所以 ( x_1 \cdot x_2 ) 的范围是 ( (-\infty, +\infty) )。

因此，当 ( \Delta < 0 ) 时，方程的根的范围是 ( (-\infty, +\infty) )。

【案例一】：求解方程 ( x^2 - 2x + 1 = 0 ) 的根的范围。

解：根据根的判别式，( \Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 0 )。因此，方程有两个相等的实数根。

根据韦达定理，我们有 ( x_1 + x_2 = -\frac{-2}{1} = 2 )，( x_1 \cdot x_2 = \frac{1}{1} = 1 )。

因此，方程的根的范围是 ( (-\infty, +\infty) )。

【案例二】：求解方程 ( x^2 - 4x + 3 = 0 ) 的根的范围。

解：根据根的判别式，( \Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 )。因此，方程有两个不相等的实数根。

根据韦达定理，我们有 ( x_1 + x_2 = -\frac{-4}{1} = 4 )，( x_1 \cdot x_2 = \frac{3}{1} = 3 )。

因此，方程的根的范围是 ( (-\infty, +\infty) )。

通过以上案例分析，我们可以看到，利用根的判别式求解方程的根的范围是简单而有效的。在实际应用中，我们可以根据方程的系数和判别式的值，快速判断方程根的性质，从而求解方程的根的范围。