根的判别式公式是怎样的？

在数学领域，一元二次方程的根的判别式是一个非常重要的概念。它不仅可以帮助我们判断一元二次方程的根的性质，还可以指导我们如何求解方程。那么，根的判别式公式是怎样的呢？本文将详细解析这一公式，并辅以案例进行分析。

一元二次方程的一般形式为：ax² + bx + c = 0，其中a、b、c为实数，且a ≠ 0。方程的根可以通过求解根的判别式来确定。

根的判别式公式：

设一元二次方程ax² + bx + c = 0的判别式为Δ，则有：

Δ = b² - 4ac

根据判别式的值，我们可以判断一元二次方程的根的性质：

接下来，我们通过几个案例来具体分析根的判别式公式。

案例一：

已知一元二次方程3x² - 5x + 2 = 0，求其根。

解答：

首先，根据根的判别式公式，计算判别式Δ：

Δ = (-5)² - 4 × 3 × 2 = 25 - 24 = 1

由于Δ > 0，所以方程有两个不相等的实数根。接下来，我们使用求根公式来求解方程的根：

x = (-b ± √Δ) / (2a)

将a、b、c的值代入公式，得：

x₁ = (5 + √1) / (2 × 3) = 1
x₂ = (5 - √1) / (2 × 3) = 2/3

因此，方程3x² - 5x + 2 = 0的根为x₁ = 1和x₂ = 2/3。

案例二：

已知一元二次方程x² - 4x + 4 = 0，求其根。

解答：

同样地，我们首先计算判别式Δ：

Δ = (-4)² - 4 × 1 × 4 = 16 - 16 = 0

由于Δ = 0，所以方程有两个相等的实数根。接下来，我们使用求根公式来求解方程的根：

x = (-b ± √Δ) / (2a)

将a、b、c的值代入公式，得：

x₁ = x₂ = (4 ± √0) / (2 × 1) = 2

因此，方程x² - 4x + 4 = 0的根为x₁ = x₂ = 2。

案例三：

已知一元二次方程x² + 2x + 5 = 0，求其根。

解答：

计算判别式Δ：

Δ = (2)² - 4 × 1 × 5 = 4 - 20 = -16

由于Δ < 0，所以方程无实数根，有两个共轭复数根。接下来，我们使用求根公式来求解方程的根：

x = (-b ± √Δ) / (2a)

将a、b、c的值代入公式，得：

x₁ = (-2 + √(-16)) / (2 × 1) = -1 + 2i
x₂ = (-2 - √(-16)) / (2 × 1) = -1 - 2i

因此，方程x² + 2x + 5 = 0的根为x₁ = -1 + 2i和x₂ = -1 - 2i。

通过以上案例，我们可以看到，根的判别式公式在解决一元二次方程问题时具有重要作用。掌握这一公式，有助于我们快速准确地判断方程的根的性质，从而求解方程。