山大考研高等代数

关于山东大学考研高等代数的问题，以下是一些可能的参考信息和解答：

参考信息整理

1. 基础知识点

矩阵的秩：矩阵的秩是其列（或行）向量组的极大线性无关组所含向量的个数。

特征多项式：对于n阶方阵A，其特征多项式是`det（A - λI）`，其中`λ`是特征值，`I`是单位矩阵。

特征向量：对于方阵A和特征值`λ`，满足`Ax = λx`的非零向量x称为A对应于特征值`λ`的特征向量。

线性方程组：齐次线性方程组`Ax = 0`的解集构成一个线性子空间，称为A的零空间。

2. 题目示例

题目1：若矩阵A的秩为r，其r个列向量为某一齐次线性方程组的一个基础解系。B是n阶可逆方阵，证明AB的列向量也是该齐次线性方程组的基础解系。

题目2：设A和B是n阶方阵，证明：AB与BA有相同的特征多项式；若AB=BA，至少有一个向量为A与B的公共特征向量。

题目3：设A是n阶实对称矩阵，`λ1`和`λn`分别是A的最小和最大特征根。A为单位矩阵，则当`λ1 < 0> 0`时，A是正定的，并证明对任意n维实向量X有`X^TAX = λ1X^T * AX + ... + λnX^T * AX`，其中`X^T`表示X的转置。

3. 复试题目示例

选择题：设A,B,C分别为n阶矩阵，E为n阶单位阵，若`A^2 = A`，则为_A.E；B.—E；C.A；D.—A.

计算题：计算特定矩阵的行列式或特征值等。

解答示例

1. 证明AB的列向量是基础解系