站在孩子人生第一个关键的升学路口，许多家长的心中不免交织着期盼与焦虑。如何为孩子选择一所真正适合的“小升初”辅导班，成为这个阶段家庭教育的重中之重。这不仅关乎知识的衔接，更关系到孩子学习习惯的养成、自信心的建立以及对新阶段学习的积极心态。面对市场上众多的选择，家长们需要一双“慧眼”，从纷繁的信息中辨别出最有利于孩子长远发展的那一个。

一、明晰目标与定位

在选择辅导班之前，最重要的一步是进行清晰的自我诊断。家长需要和孩子一起，冷静分析当前的学习状况。是学科知识存在明显的薄弱环节，需要针对性补差？还是学有余力，希望进行拔高训练，冲击顶尖名校？抑或是寻求一个稳定的学习环境，帮助孩子平稳过渡到初中的学习节奏？明确的需求是选择方向的基石。

不同的目标对应着不同的选择策略。例如，以“补差”为主要目的，则应重点关注辅导机构在小班教学搜文档

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高考数学母题规划,助你考入清华北大！杨培明老师的联系电话:（微信号）椭圆的几何性质高考母题 (735) 椭圆的几何性质 母题:若椭圆的焦点在x轴上,过点(1,)作圆x2+y2=1的切线,切点分别为A、B,直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程是 .解析:由点(1,)在圆x2+y2=1外,过点(1,)可作圆的两条切线;设切线斜率为k,则切线:y-=k(x-1)kx-y+-k=0=1k=-;一条切线:y-=-(x+1)x+y-2=0,此时,切点A(-1,0);另一条切线:x=1,切点B(1,0);所以,直线AB:y=0;不合题意;设切线斜率为k,则切线:y-=k(x-1)kx-y+-k=0=1k=0或k=-;当k=0时,切线:y=,切点A(-,);当k=-时,切线:y=-(x-1)+x+2y-4=0,切点B(,);所以,直线AB:2x+y-2=0直线AB与x轴、y轴分别交于(1,0)、(0,2)右焦点F(1,0)上顶点B(0,2)c=1,b=2a2=b2+c2=5椭圆方程:+=1.点评:椭圆的几何性质包括:范围、对称性、顶点、长短轴、离心率等,由此构成了椭圆试题的一个基本类型. 子题类型:(2008年江西高考试题)已知F1、F2是椭圆的两个焦点,满足=0的点M总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是( ) (A)(0,1) (B)(0, ©(0,) (D),1)解析:由=0点M的轨迹是以F1F2为直径的圆;由点M总在椭圆内部以F1F2为直径的圆在椭圆内部c2c2b2=a2-c2e2又由0eb0)的焦点,若椭圆上存在点P,使得F1PF2=900,则椭圆离心率的取值范围是 .解析:因F1PF2的最大值在P为短轴端点时取得,所以,F1PF2=900在P为短轴端点时,F1PF2900b2c2a2-c2c2e2又因为0eb0)的焦点,若在椭圆上存在点P,满足F1PF2=,则椭圆离心率的取值范围是 .解析:由余弦定理:|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cos4c2=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|PF2|(1+cos)4c2=4a2-2|PF1|PF2|(1+cos)|PF1|PF2|=;又由|PF1|PF2|()2=a2=a2e=;又由0eb0)的焦点,且在椭圆上存在点P,满足F1PF2=,则椭圆离心率e的取值范围是 .解析:设|PF1|=m,|PF2|=n,则m+n=2a;在PF1F2中,由正弦定理:2c=2c=;由mn()2=a2|sin|2a;又因|sin|1caeb0)的两个焦点,F1、F2,P为椭圆上一点,且=c2,则离心率e的取值范围是 .解析:设|PF1|=m,|PF2|=n,则m+n=2a,且F1PF2=;由=c2=|F1F2|2=m2+n2-2mncos=4c2(m+n)2-2mn(1+cos)=4c24a2-2mn(1+cos)=4c2mn=;又由mn()2=a2a2b2=a2-c2a2-c2(1+cos)a2a2(1+cos)4c2e2;特别地:当=900时,e;当=1200时,e;当=600时,e. 4.(2010年全国高中数学联赛四川初赛试题)设椭圆+=1(ab0)的离心率e=,右焦点F(c,0),方程ax2+bx-c=0的两个根分别为x1,x2,则点P(x1,x2)在( ) (A)圆x2+y2=2内 (B)圆x2+y2=2上 ©圆x2+y2=2外 (D)以上三种情况都有可能解析:由x1+x2=-,x1x2=-x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=+=+1;又由e=a2=2c2,b2=a2-c2=c2x12+x22=+1=+1=22点P(x1,x2)在圆x2+y2=2外.故选©. 5.(2010年课标高考试题)设F1、F2分别是椭圆E:+=1(ab0)的左、右焦点,过点F1的直线交椭圆E于A、B两点,|AF1|=3|F1B|.()若|AB|=4,ABF2的周长为16,求|AF2|; ()若cosAF2B=,求椭圆E的离心率.解析:()由|AF1|=3|F1B|,|AB|=4|AF1|=3,|F1B|=1;因ABF2的周长为164a=16a=4;由椭圆定义:|AF1|+|AF2|=2a=8|AF2|=5;()设|F1B|=k,则|AF1|=3k,|AB|=4k;由椭圆定义:|AF2|=2a-3k,|BF2|=2a-k;在ABF2中,由余弦定理:|AB|2=|AF2|2+|BF2|2-2|AF2|BF2|cosAF2B(4k)2=(2a-3k)2+(2a-k)2-(2a-3k)(2a-k)(a+k)(a-3k)=0a=3k|AF2|=3k,|BF2|=5k|AF2|2+|AB|2=|BF2|2AF2AB|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2=(3k)2+(3k)2=(2c)2c=k=e=. 6.(1987年全国高考试题)正方形ABCD的边AB在直线y=x+4上,C、D在抛物线y2=x上,求正方形的面积.解析:设CD:y=x+b,由y=x+b与y2=x相切b=;又由两平行线y=x+4与y=x+b间的距离d=正方形的边长a满足:a=d=2a2=50. 7.(2012年全国高中数学联赛河北预赛试题)椭圆+=1的焦点为F1、F2,点P在椭圆上,若|PF1|=4,则F1PF2的大小为 .解析:由a=3,b=,c=;由|PF2|=2a-|PF1|=2;在F1PF2中,由余弦定理:cosF1PF2=-F1PF2=1200. 8.(2014年全国高中数学联赛四川初赛试题)椭圆+=1的左、右焦点分别为F1、F2,P为椭圆上任意一点,则的取值范围是 .解析:由a=2,b=,c=1;设|PF1|=m,则m-a-c,a+c=1,3,且|PF2|=4-m;所以,=m(4-m)=-(m-2)2+4,当m=1或3时,取最小值3;当m=2时,取最大值4.故的取值范围是3,4. 9.(2014年浙江高考试题)设直线x-3y+m=0(m0)与双曲线-=1(a0,b0)的两条渐近线分别交于点A,B.若点P(m,0)满足|PA|=|PB|,则该双曲线的离心率是 .解析:由双曲线的渐近线:y=x;由x-3y+m=0与y=xA(-,);由x-3y+m=0与y=-xB(,);由|PA|=|PB|点P在线段AB的中垂线上;由AB的中点M(,),斜率kAB=AB的中垂线的斜率=3=3a2=2b2e=. 10.(2008年江苏高考试题)在平面直角坐标系中,椭圆+=1(ab0)的焦距为2,以O为圆心,a为半径作圆,过点(,0)作圆的两切线互相垂直,则离心率e= .解析:由过点(,0)作圆的两切线互相垂直点(,0)在圆外,且两切线的斜率分别为1和-1圆心O到切线的距离=a=a=e=. 11.(2010年江苏高考试题)在平面直角坐标系xOy中,如图,已知椭圆+=1的左右顶点为A,B,右焦点为F.设过点T(t,m)的直线TA、TB与此椭圆分别交于点M(x1,y1)、N(x2,y2),其中m0,y10,y2b0)的左焦点为F,过点F的直线交椭圆于A,B两点.若AB的中点坐标为(1,-1),则E的离心率为 .解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),则+=1,+=1-=0=-;由AB的中点坐标为(1,-1)=1,=-1=-=;又由直线AB过点F(-c,0)和(1,-1)kAB=e=. 13.(2014年江西高考试题)设椭圆C:+=1(ab0)的左右焦点为F1,F2,过F2作x轴的垂线与C相交于A,B两点,F1B与y轴相交于点D,若ADF1B,则椭圆C的离心率等于 .解析:由AB:x=c代入椭圆:y=AB=;由D(0,),kDF1=-,kBF1=;由ADF1BkADkBF1=-1kAD=-;又由kAD=e=. 14.(2012年四川高考试题)椭圆+=1的左焦点为F,直线x=m与椭圆相交于点A,B,当FAB的周长最大时,FAB的面积是 .解析:设椭圆的右焦点为E,则FAB的周长=AB+AF+BF=AB+(2a-AE)+(2a-BE)=4a+AB-AE-BE;又由AE+BEAE+BEABAB-AE-BE0,当且仅当AB过点E时,等号成立FAB的周长最大时,AB过点E;此时,由x=m=c=1A(1,),B(1,-)FAB的面积=3= . 15.(2014年辽宁高考试题)已知椭圆C:+=1,点M与C的焦点不重合.若M关于C的焦点的对称点分别为A,B,线段MN的中点在C上,则|AN|+|BN|= .解析:设椭圆的左右焦点分别为F1,F2,如图,连接MF1,MF2,并延长,分别交椭圆于A,B;设MN的中点为P,由P在椭圆上|PF1|+|PF2|=2a=6;又由P是MN的中点,A是MF1的中点|AN|=|PF1|;同理|BN|=|PF2|.|AN|+|BN|=|PF1|+|PF2|=6. 16.(2014年安徽高考试题)设F1,F2分别是椭圆E:+=1(ab0)的左、右焦点,过点F1的直线交椭圆E于A,B两点,|AF1|=3|BF1|.()若|AB|=4,ABF2的周长为16,求|AF2|;()若cosAF2B=,求椭圆E的离心率.解析:()由|AF1|=3|BF1|,|AB|=4|AF1|=3,|F1B|=1;因ABF2的周长为16=4a=16a=4;由椭圆定义:|AF1|+|AF2|=2a=8|AF2|=5;()设|F1B|=k,则|AF1|=3k,|AB|=4k;由椭圆定义:|AF2|=2a-3k,|BF2|=2a-k;在ABF2中,由余弦定理:|AB|2=|AF2|2+|BF2|2-2|AF2|BF2|cosAF2B(4k)2=(2a-3k)2+(2a-k)2-(2a-3k)(2a-k)(a+k)(a-3k)=0a=3k|AF2|=3k,|BF2|=5k|AF2|2+|AB|2=|BF2|2AF2AB|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2=(3k)2+(3k)2=(2c)2c=k=e=. 17.(2006年全国高中数学联赛河南初赛试题)己知A,B分别为椭圆+=1(ab0)的左右顶点,椭圆长半轴的长等于焦距,且椭圆上的点到焦点的最短距离为1.()求椭圆的标准方程;()设P为椭圆上异于A,B的点,直线AP,PB与直线x=4分别交于点M,N,直线MB与椭圆交于点Q(异于点B).证明:N,Q,A三点共线.解析:()由a=2c,且a-c=1a=2,c=1,b2=3椭圆:+=1;()设P(x0,y0),则直线PA:y=(x+2)M(4,);直线PB:y=(x-2)N(4,);所以,直线MB:y=(x-2),代入椭圆:+=1得:3×2-4(2-)x+4()2-12=0;由该方程的一个根为2,另一根为xQxQ=,yQ=(xQ-2)=-;所以,kQA=,kNA=;由kQA=kNAN,Q,A三点共线. 18.(2007年全国高中数学联赛广西初赛试题)已知A,B分别为椭圆+=1(ab0)的左右顶点,椭圆长半轴的长等于焦距,且x=4是它的右准线.()求椭圆的方程;()设P为右准线上不同于点(4,0)的任意一点,若直线AP,BP分别与椭圆相交于异于A,B的点M,N,证明:点B在以MN为直径的圆内.解析:()由右准线x=4=4,且a=2ca=2,c=1,b2=3椭圆:+=1;()设P(4,yP),M(xM,yM),N(xN,yN);由A,M,P共线yM=;把yM=代入椭圆得:xM=;同理由B,N,P共线yN=,xN=;所以,=(xM-2,yM),=(xN-2,yN)=2+;又由点M,N在椭圆上9=12-3,9=12-3= -2+0,且|,|不共线AQB为锐角点B在以MN为直径的圆内. 19.(2007年湖南高考试题)已知椭圆C1:+=1(ab0)的左右焦点分别为F1,F2,右顶点为A, P为椭圆C1上任意一点,且的最大值的取值范围是c2,3c2,其中c=.(I)求椭圆C1的离心率e的取值范围;(II)设双曲线C2以椭圆C1的焦点为顶点,顶点为焦点,B是双曲线C2在第一象限上任意一点,当e取得最小值时,试问是否存在常数(0),使得BAF1=恒成立？若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.解析:(I)设P(x,y),则=(-a-c,0),=(x-a-c,y)=(x-a-c)(-a-c)=-(x-a-c)(a+c);又由-aax-a