高中的重要不等式

高中的重要不等式

高中数学中的一些重要不等式包括：

基本不等式

若 `a > 0, b > 0`，则 `ab ≥ 0`。

对于任意实数 `a`，有 `a^2 ≥ 0`。

若 `a > 0, b > 0`，则 `a + b > 0`。

对于任意实数 `a, b`，有 `a^2 + b^2 ≥ 0`。

排序不等式

设有两组数 `a1, a2, ..., an` 和 `b1, b2, ..., bn` 满足 `a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ an` 和 `b1 ≤ b2 ≤ ... ≤ bn`，则有 `a1b1 + a2b2 + ... + anb1 ≤ a1bt + a2bt + ... + anbt ≤ a1b1 + a2b2 + ... + anbn`，其中 `t1, t2, ..., tn` 是 `1, 2, ..., n` 的任意排列。

柯西不等式

对于任意实数序列 `a1, a2, ..., an` 和 `b1, b2, ..., bn`，有 `（∑ai^2） * （∑bi^2） ≥ （∑ai * bi）^2`。等号成立当且仅当 `a1:b1 = a2:b2 = ... = an:bn`。

均值不等式

算术-几何不等式：对于任意非负实数 `a1, a2, ..., an`，有 `（a1 + a2 + ... + an） / n ≥ （a1 * a2 * ... * an）^（1/n）`。

赫尔德不等式：对于任意非负实数 `a1, a2, ..., an` 和 `b1, b2, ..., bn`，有 `（a1 * b1 + a2 * b2 + ... + an * bn）^2 ≥ （a1 + a2 + ... + an） * （b1 + b2 + ... + bn）`。

幂平均不等式

对于任意非负实数 `a1, a2, ..., an`，有 `（a1^p + a2^p + ... + an^p）^（1/p） ≥ （a1 + a2 + ... + an）^（1/p）`，其中 `p > 0`。