证明柯西点列收敛

柯西点列收敛的证明可以基于以下几个关键点：

柯西序列的定义

柯西序列是指一个实数序列，对于任意给定的正数ε，存在一个正整数N，使得当n, m大于等于N时，满足 |a_n - a_m| < ε。

收敛序列的定义

序列（a_n）收敛于一个实数L，意味着对于任意给定的正数ε，存在一个正整数N，使得当n大于等于N时，满足 |a_n - L| < ε。

证明柯西序列收敛

有界性：首先证明柯西序列是有界的。由柯西序列的定义，对于任意给定的正数ε，存在一个正整数N，使得当n, m大于等于N时，有 |a_n - a_m| < ε。这意味着序列的所有项都位于一个以a_N为中心，半径为ε的闭区间内。因此，序列是有界的。

选择子列：由于序列是有界的，根据Bolzano-Weierstrass定理，序列中必然存在一个收敛的子列。设这个子列为{a_{n_k}}，且收敛于L。

证明收敛性：对于任意给定的正数ε，选择子列的极限点L作为目标点。由于子列收敛于L，对于任意给定的正数ε，存在一个正整数K，使得当k大于等于K时，有 |a_{n_k} - L| < ε/2。同时，由于原序列是柯西序列，对于任意给定的正数ε，存在一个正整数N，使得当n, m大于等于N时，有 |a_n - a_m| < ε/2。取N'为N和K中的较大者，则对于任意n大于等于N'，有：

|a_n - L| ≤ |a_n - a_{n_k}| + |a_{n_k} - L| < ε/2 + ε/2 = ε。

通过以上步骤，我们证明了柯西序列收敛于其极限点L。这个证明过程不仅展示了柯西序列的收敛性，还利用了有界性和Bolzano-Weierstrass定理等数学工具。